沙中尚 · 云科技探索馆

操作说明：

翻动翻板，让液体在四个圆形容器和球表面容器之间切换。

产品简介：

通过一组翻板装置，求证公式：S(球面)=4πr^2。观众翻动翻板，可让液体在四个圆形容器和球表面容器之间切换。翻板上的四个小圆的直径正好和圆的直径相等，圆球容器的厚度也和小圆容器的厚度相等，当翻转平板、将圆球表面的液体倒入四个小圆时，发现圆球表面的液体正好装满了四个小圆的容器，从而验证了公式“ S(球面)=4πr^2”。 科学原理： S(球面)=4πr^2。

视频演示：

原    理：

圆球表面积的原理可以通过积分和极限的概念来解释‌。圆球的表面积公式为 $4\pi r^2$，其中 $r$ 是球的半径。这个公式可以通过积分和极限的概念来推导。

积分和极限的概念

可以将一个半径为 $R$ 的球体想象成被横向切成无数个薄层，每层的厚度为 $\Delta r$。这些薄层可以看作是圆柱体，其底面圆的半径为 $r$，高为 $\Delta r$。每个圆柱体的侧面积为 $2\pi r \Delta r$。将这些圆柱体的侧面积相加，并取极限，当 $\Delta r$ 趋于0时，就可以得到球的表面积‌。

微积分推导过程

具体推导过程如下：

1. 将球体横向切成无数个薄层，每层的厚度为 $\Delta r$。

2. 第 $k$ 个薄层的半径为 $r_k = \sqrt{R^2 - (k \Delta r)^2}$。

3. 第 $k$ 个薄层的侧面积为 $2\pi r_k \Delta r = 2\pi \sqrt{R^2 - (k \Delta r)^2} \Delta r$。

4. 将所有薄层的侧面积相加，并取极限，当 $\Delta r$ 趋于0时，得到半球表面积为 $2\pi R^2$。由于球体是对称的，所以整个球的表面积为 $4\pi R^2$‌
   。

通过这种推导方法，我们可以理解为什么球的表面积与其半径的平方成正比，并且乘以常数 $4\pi$。这是因为球面是由无数个微小的圆面构成的，每个圆面的面积与半径的平方成正比，当半径扩大一倍时，表面积增加4倍‌。